Potencial Elético – fismat.com.br

Notas de Aulas sobre Potencial Elétrico

Vídeo Aulas sobre Potencial Elétrico

Conceitos iniciais de potencial elétrico.

Potencial gerado por um dipolo elétrico.

Potencial produzido por uma distribuição contínua de carga.

Demonstração da Expressão do Potencial Elétrico Gerado por uma Linha de Carga

Consideremos na Figura abaixo uma barra fina, isolante e de comprimento $L$ , uniformemente carregada eletricamente.

Um elemento do potencial elétrico $dV$ gerado no ponto P é dado por

(1) $\begin{equation*} dV=\frac{1}{4 \pi \varepsilon _0}\frac{dQ}{r}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{dQ}{\sqrt{x^2+z^2}} \end{equation*}$

Considerando que a carga esteja uniformemente distribuída ao longo da barra, a densidade linear de carga será constante e dada por:

(2) $\begin{equation*} \lambda=\frac{dQ}{dx}. \end{equation*}$

Substituindo a Equação 2 na Equação 1, teremos

(3) $\begin{equation*} dV=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{\lambda dx}{\sqrt{x^2+z^2}}. \end{equation*}$

Observando a Figura podemos escrever

$x=z\,tg\theta\,\,\,\ \Rightarrow \,\,\, dx=z\,sec^2 \theta d \theta$

$cos\theta=\frac{z}{\sqrt{x^2+z^2}}$

$\sqrt{x^2+z^2}=z\,sec\theta$

Sendo assim, da Equação 2 podemos obter

$dV=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0} \frac{z\,sec^2 \theta \,d\theta}{z\,sec\theta}$

(4) $\begin{equation*} V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\int_{\theta_1}^{\theta_2}sec\theta \,d\theta \end{equation*}$

Uma das técnicas para solucionar a Equação 4 consiste em multiplicar e dividir o integrando por $tg\theta+sec\theta$ . Assim 4 assumirá a forma

(5) $\begin{equation*} V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{(tg\theta +sec\theta)sec\theta}{tg\theta+sec\theta} \,d\theta \end{equation*}$

Fazendo

$tg\theta+sec\theta=u \,\,\,\Rightarrow \,\,\, du=sec\theta(tg\theta+sec\theta)d\theta$

e substituindo em 5 teremos

$V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{(tg\theta +sec\theta)sec\theta}{tg\theta+sec\theta} d\theta$

Obtendo assim

(6) $\begin{equation*} V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\int_{u_1}^{u_2}\frac{du}{u} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\,ln\,u \Big|_{u_1}^{u_2} . \end{equation*}$

Mas $u=tg\theta+sec\theta$ , então

$V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0} \int_{\theta_1}^{\theta_2}=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\,ln\,(tg\theta+sec\theta) \Big|_{\theta_1}^{\theta_2},$