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Lei de Coulomb

Introduzimos aqui o curso de Fundamentos do Eletromagnetismo, ou o Curso de Física III como é denominado em várias unidades de ensino de cursos superiores. A lista de exercícios encontra-se no final deste post.

A Lei de Coulomb trata das forças de interação elétrica entre cargas elétricas puntuais.

Este post contará com notas de aulas, vídeo aulas e proposta de exercícios, e como bibliografia básica utilizaremos o livro texto:

Halliday, David, 1916-2010 Fundamentos de física, volume 2 : gravitação, ondas e termodinâmica / David Halliday , Robert Resnick , Jearl Walker ; tradução Ronaldo Sérgio de Biasi. – 10. ed. – Rio de Janeiro : LTC, 2016.

Ao final do post encontra-se um espaço para comentários, críticas e sugestões.

A disciplina de Fundamentos do Eletromagnetismo, aqui denominada Física III, é composta por uma série de conteúdos ministrados nos cursos com duração de um semestre nas várias instituições de ensino superior do Brasil. A bibliografia aqui adotada apresenta a teoria em 12 capítulos

Uma peculiaridade da Física III é a impossibilidade de assimilação dos conteúdos estudando capítulos independentes, ou seja, é praticamente impossível assimilar o conteúdo referente a Potencial Elétrico sem ter assimilado o assunto que trata de Campo Elétrico.

A Lei de Coulomb

A expressão matemática da Lei de Coulomb é

(1)   \begin{equation*} F_{12}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{|q_1||q_2|}{r^2}. \end{equation*}

Ou ainda, na forma vetorial

(2)   \begin{equation*} \vec{F}_{12}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{|q_1||q_2|}{r^2}\hat{r}. \end{equation*}

Sendo \vec{F}_{12} a força elétrica que a carga q_2 exerce sobre q_1 e r a distância que separa as duas cargas, centro a centro conforme mostra a figura abaixo.

Representação de Cargas Elétricas e força elétrica.
Ilustração para Lei de Coulomb.

Na sequência de vídeos abaixo, mostraremos a teoria sobre a Lei de Coulomb

Lei de Coulomb – Conceitos Iniciais

Lei de Coulomb e o Princípio da Superposição

Quando temos a interação de várias cargas e precisamos determinar, por exemplo, a força que um conjunto de cargas exerce numa carga específica, utilizamos o princípio de superposição.

Um Problema completo sobre Cargas Puntuais

Um problema extremamente relevante para o estudo da Lei de Coulomb e cargas pontuais.

Lista de Exercícios sobre Lei de Coulomb

A lista de exercícios sobre Lei de Coulomb encontra-se na janela abaixo. Nunca avance para a próximo assunto sem resolver um número razoável de exercícios do assunto atual.

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Termometria: Conceitos Gerais para o Estudo de Termologia do Ensino Médio

Máquinas térmicas primitivas.

Um aparte: Solucionando SISTEMAS LINEARES e EQUAÇÃO DE 2º GRAU

A planilha abaixo é uma espécie de calculadora que pode ser útil para os estudos dos conteúdos seguintes.

Clique aqui para baixar a planilha.

Termologia

Imagine que você precise realizar diariamente, um trajeto de ida e volta que totalize um valor de 80 km. No passado esse percurso era realizado sobre embarcações a remo, a pé ou em lombo de animais, o que tornava impraticável uma rotina como essa. Apenas a título de informação, 40 km é um trajeto limite para um cavalo com carga de 60 kg. Se essa viagem precisar ser 5 dias por semana por vários meses seguidos, a saúde do animal será afetada consideravelmente. Atualmente é extremamente comum, pessoas que trabalham ou estudam precisando realizar percurso total de 80 km diariamente, o que pode ser feito de forma bem tranquila com a utilização de um automóvel. Nesse trajeto é possível que a pessoa tenha acesso a água fria de qualidade armazenada em uma geladeira e chegando ao seu destino ou até mesmo dentro do automóvel a pessoa pode contar com o conforto de um ambiente com ar condicionado.

O automóvel, a geladeira, o ar condicionado são apenas alguns exemplos de máquinas térmicas que atualmente nos garantem os confortos da vida moderna, e que só existem graças aos conhecimentos de termologia acumulados ao longo dos tempos pela humanidade. Por esse motivo iniciaremos aqui, a base da termologia para o estudo das máquinas térmicas que são de grande importância em nosso cotidiano.

Os vídeos a seguir encontram se na ordem que melhor facilita seu aprendizado.

Conceitos de Termometria para o Ensino Médio

Os vídeos abaixo mostram problemas de aprendizagem relacionados à termometria.

Termometria: Problemas de aprendizagem _ 1.
Termometria: Problemas de aprendizado – 2.

Dilatação dos Sólidos

Em geral, quando aquecemos um material, este aumenta seu volume. O termômetro de mercúrio que você nas aulas anteriores utilizam este fenômeno físico para seu funcionamento. Provavelmente você já se deparou com um porta ou portão que em dias quentes apresentam uma dificuldades para serem abertos. Essa propriedade que os materiais apresentam (aumentar o volume quando aquecidos) é extremamente importante para aplicação nas industrias. No vídeo abaixo trataremos sobre a dilatação dos sólidos.

Dilatação Linear

Dilatação linear dos materiais

Dilatação Superficial

Dilatação Superficial.

Dilatação Volumétrica

Dilatação volumétrica dos sólidos

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Problemas Resolvidos: Fundamentos de Mecânica

Ementa de Física Geral I

Medição. Movimento retilíneo. Vetores. Movimento em duas e três dimensões. Leis de Newton. Trabalho e energia cinética, conservação de energia. Centro de massa e Momento Linear. Colisões. Rotação. Rolamento, torque e momento angular.

Bibliografia básica

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos da física, v. 1. 10ª ed.

Problemas resolvidos do volume I da 10ª edição

Capítulo 2 2.11 , 2.13 , 2.17 , 2.39 , 2.43 , 2.44 , 2.47 , 2.49 , 2.65
2.53 ,

Capítulo 3: 3.Q_13 , 3.1_3.3 , 3.25 , 3.44 ,

Capítulo 4: 4.13 , 4 .18 , 4.23 , 4 .28

Capítulo 7: 7.21 , 7.29 ,

Capítulo 8: 8.5 , 8.7 , 8.29 , 8.31 ,

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Dinâmica de Partícula em 1, 2 e 3 Dimensões

Representação do sistema planetário.

Listas de exercícios

Listas de Exercícios: Lista 1 (referente aos capítulos 2 e 3 do Fowles) , Lista_2 (referente aos capítulos 4 e 8 do Fowles)

Notas de aulas

Demostração completa da solução do oscilador harmônico simples .

Segue o link abaixo para download da solução do oscilador harmônico simples.

Oscilador Harmônico Simples

Oscilador Harmônico Amortecido (Modo Subcrítico)

Oscilador Harmônico Amortecido – (modo subcrítico)

Oscilador Harmônico Amortecido Supercrítico ou Superamortecido

Oscilador Harmônico Amortecido Crítico

Dinâmica de uma Partícula – Caso Geral

Dinâmica de Partícula: Teoremas (Trabalho e Energia cinética e Trabalho e Energia Potencial)

Dinâmica de partícula em 1, 2 e 3 dimensões.

Mecânica de Corpos Rígidos

Mecânica de corpos rígidos: Grandezas angulares, Momento de Inércia e Energia Cinética de Rotação.

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Problemas Resolvidos: Fundamentos do Eletromagnetismo

Diagrama de força de uma partícula carregada e pendurada na presença de um campo magnético.

Esta é uma secção que pode ser útil para os estudantes Física, Matemática, Engenharia que estão cursando a disciplina de FUNDAMENTOS DE ELETROMAGNETISMO.

Nesta disciplina, tenho utilizado como bibliografia básica  o livro volume 3 e 4 dos autores Halliday, Hesnick e Walker da 10ª edição.  

Ementa da disciplina: 

  • Cargas Elétricas;
  • Campos Elétricos;
  • Lei de Gauss;
  • Potencial Elétrico;
  • Capacitância;
  • Corrente e Resistência;
  • Circuitos;
  • Campos Magnéticos;
  • Campos Magnéticos produzidos por correntes;
  • Indução e Indutância;
  • Oscilações Eletromagnéticas e corrente alternada;
  • Equações de Maxwell; Magnetismo da Matéria;
  • Ondas Eletromagnéticas;
  • Óptica Geométrica

Provas aplicadas em semestre anteriores:

1ª prova , 2ª prova ,   3ª prova ,   4ª prova

Notas de aulas

Capítulo 22: Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Carga de Comprimento L

Problemas resolvidos

Capítulo 21: 21,7 21.10 , 21.13 , 21.42

Capítulo 22: 22.19 , 22.21 , 22.24 , 22.25 , 22.31 ,

Capítulo 23: 22.53, 23.24, 23.29

Capítulo 24: 24.11, 24.31, 24.47, 24.66

Capítulo 25: 25.48, 25.49

Capítulo 26: 26.34, 26.35, 26.2,

Capítulo 27: 27.10, 27.18, 27.29, 27.30, 27.33, 27.57, 27.97,

Potencial Elétrico

Potencial Elétrico Gerado por uma Linha de Carga

Consideremos na Figura abaixo uma barra fina, isolante e de comprimento L, uniformemente carregada eletricamente.
Potencial elétrico gerado por uma linha de carga.
Um elemento do potencial elétrico dV gerado no ponto P é dado por

(1)   \begin{equation*} dV=\frac{1}{4 \pi \varepsilon _0}\frac{dQ}{r}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{dQ}{\sqrt{x^2+z^2}} \end{equation*}

Considerando que a carga esteja uniformemente distribuída ao longo da barra, a densidade linear de carga será constante e dada por:

(2)   \begin{equation*} \lambda=\frac{dQ}{dx}. \end{equation*}

Substituindo a Equação 8 na Equação 1, teremos

(3)   \begin{equation*} dV=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{\lambda dx}{\sqrt{x^2+z^2}}. \end{equation*}

Observando a Figura podemos escrever

    \[x=z\,tg\theta\,\,\,\ \Rightarrow \,\,\, dx=z\,sec^2 \theta d \theta\]

    \[cos\theta=\frac{z}{\sqrt{x^2+z^2}}\]

    \[\sqrt{x^2+z^2}=z\,sec\theta\]

Sendo assim, da Equação 8 podemos obter

    \[dV=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0} \frac{z\,sec^2 \theta \,d\theta}{z\,sec\theta}\]

(4)   \begin{equation*} V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\int_{\theta_1}^{\theta_2}sec\theta \,d\theta \end{equation*}

Uma das técnicas para solucionar a Equação 4 consiste em multiplicar e dividir o integrando por tg\theta+sec\theta. Assim 4 assumirá a forma

(5)   \begin{equation*} V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{(tg\theta +sec\theta)sec\theta}{tg\theta+sec\theta} \,d\theta \end{equation*}

Fazendo

    \[tg\theta+sec\theta=u \,\,\,\Rightarrow \,\,\, du=sec\theta(tg\theta+sec\theta)d\theta\]

e substituindo em 5 teremos

(6)   \begin{equation*} V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{(tg\theta +sec\theta)sec\theta}{tg\theta+sec\theta} \,d\theta= \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\int_{u_1}^{u_2}\frac{du}{u} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\,ln\,u \Big|_{u_1}^{u_2} . \end{equation*}

Mas u=tg\theta+sec\theta, então

    \[V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0} \int_{\theta_1}^{\theta_2}=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\,ln\,(tg\theta+sec\theta) \Big|_{\theta_1}^{\theta_2},\]

ou ainda

    \[V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\,ln\,\left(\frac{x}{z}+ \frac{\sqrt{x^2+z^2}}{z} \right) \Big|_{x=0}^{x=L}\]

E finalmente, teremos a Equação

(7)   \begin{equation*} V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\,ln\,\left(\frac{L+\sqrt{L^2+z^2}}{z} \right) \end{equation*}

que determina o potencial elétrico gerado pela distribuição linear de carga no ponto P conforme ilustrado pela Figura.

Vídeos





Potencial Elétrico – Parte 1

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Quem sou

Quem sou: Joaquim Pinto Gomes, Doutor em Física pela Universidade Federal de Viçosa (UFV) – MG, Mestre em Física Aplicada pela  Universidade Federal de Viçosa-MG, Especialista em Eletricidade na Agropecuária com ênfase em Qualidade e Conservação pela Universidade Federal de Lavras-MG; graduado em Ciência/Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Caratinga; graduado em Física pela Universidade Federal de Viçosa (currículo Lattes). Sou Professor e Pesquisador no IFNMG (Instituto Federal do Norte de Minas Gerais) – Campus Januária, atuando como docente no curso de Física.  Fui professor de Física e Matemática do Ensino Médio em algumas instituições de ensino como:  Continue reading “Quem sou”