Categoria: Fisica Geral III

Notas de Aulas sobre Potencial Elétrico

Vídeo Aulas sobre Potencial Elétrico

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Demonstração da Expressão do Potencial Elétrico Gerado por uma Linha de Carga

Consideremos na Figura abaixo uma barra fina, isolante e de comprimento $L$, uniformemente carregada eletricamente.

[latexpage] Um elemento do potencial elétrico $dV$ gerado no ponto P é dado por \begin{equation}\label{elemento_do_potencial} dV=\frac{1}{4 \pi \varepsilon _0}\frac{dQ}{r}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{dQ}{\sqrt{x^2+z^2}} \end{equation} Considerando que a carga esteja uniformemente distribuída ao longo da barra, a densidade linear de carga será constante e dada por: \begin{equation}\label{densidade_linear_carga} \lambda=\frac{dQ}{dx}. \end{equation} Substituindo a Equação \ref{densidade_linear_carga} na Equação \ref{elemento_do_potencial}, teremos \begin{equation} dV=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{\lambda dx}{\sqrt{x^2+z^2}}. \end{equation} Observando a Figura podemos escrever $$x=z\,tg\theta\,\,\,\ \Rightarrow \,\,\, dx=z\,sec^2 \theta d \theta$$ $$cos\theta=\frac{z}{\sqrt{x^2+z^2}}$$ $$\sqrt{x^2+z^2}=z\,sec\theta$$ Sendo assim, da Equação \ref{densidade_linear_carga} podemos obter $$dV=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0} \frac{z\,sec^2 \theta \,d\theta}{z\,sec\theta}$$ \begin{equation}\label{xx} V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\int_{\theta_1}^{\theta_2}sec\theta \,d\theta \end{equation} Uma das técnicas para solucionar a Equação \ref{xx} consiste em multiplicar e dividir o integrando por $tg\theta+sec\theta$. Assim \ref{xx} assumirá a forma \begin{equation}\label{xx1} V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{(tg\theta +sec\theta)sec\theta}{tg\theta+sec\theta} \,d\theta \end{equation} Fazendo $$tg\theta+sec\theta=u \,\,\,\Rightarrow \,\,\, du=sec\theta(tg\theta+sec\theta)d\theta$$ e substituindo em \ref{xx1} teremos $$ V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{(tg\theta +sec\theta)sec\theta}{tg\theta+sec\theta} d\theta $$ Obtendo assim \begin{equation}\label{xx2} V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\int_{u_1}^{u_2}\frac{du}{u} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\,ln\,u \Big|_{u_1}^{u_2} . \end{equation} Mas $u=tg\theta+sec\theta$, então $$V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0} \int_{\theta_1}^{\theta_2}=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\,ln\,(tg\theta+sec\theta) \Big|_{\theta_1}^{\theta_2},$$ ou ainda $$V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\,ln\,\left(\frac{x}{z}+ \frac{\sqrt{x^2+z^2}}{z} \right) \Big|_{x=0}^{x=L}$$ E finalmente, teremos a Equação \begin{equation}\label{potencial_linha_de_carga} V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\,ln\,\left(\frac{L+\sqrt{L^2+z^2}}{z} \right) \end{equation} que determina o potencial elétrico gerado pela distribuição linear de carga no ponto P conforme ilustrado pela Figura.

Lista de Exercícios sobre Potencial Elétrico