Esta é uma secção que pode ser útil para os estudantes Física, Matemática, Engenharia que estão cursando a disciplina de FUNDAMENTOS DE ELETROMAGNETISMO.
Nesta disciplina, tenho utilizado como bibliografia básica o livro volume 3 e 4 dos autores Halliday, Hesnick e Walker da 10ª edição.
Consideremos na Figura abaixo uma barra fina, isolante e de comprimento $L$, uniformemente carregada eletricamente.
Potencial elétrico gerado por uma linha de carga.
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Um elemento do potencial elétrico $dV$ gerado no ponto P é dado por
\begin{equation}\label{elemento_do_potencial}
dV=\frac{1}{4 \pi \varepsilon _0}\frac{dQ}{r}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{dQ}{\sqrt{x^2+z^2}}
\end{equation}
Considerando que a carga esteja uniformemente distribuída ao longo da barra, a densidade linear de carga será constante e dada por:
\begin{equation}\label{densidade_linear_carga}
\lambda=\frac{dQ}{dx}.
\end{equation}
Substituindo a Equação \ref{densidade_linear_carga} na Equação \ref{elemento_do_potencial}, teremos
\begin{equation}
dV=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{\lambda dx}{\sqrt{x^2+z^2}}.
\end{equation}
Observando a Figura podemos escrever
$$x=z\,tg\theta\,\,\,\ \Rightarrow \,\,\, dx=z\,sec^2 \theta d \theta$$
$$cos\theta=\frac{z}{\sqrt{x^2+z^2}}$$
$$\sqrt{x^2+z^2}=z\,sec\theta$$
Sendo assim, da Equação \ref{densidade_linear_carga} podemos obter
$$dV=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0} \frac{z\,sec^2 \theta \,d\theta}{z\,sec\theta}$$
\begin{equation}\label{xx}
V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\int_{\theta_1}^{\theta_2}sec\theta \,d\theta
\end{equation}
Uma das técnicas para solucionar a Equação \ref{xx} consiste em multiplicar e dividir o integrando por $tg\theta+sec\theta$. Assim \ref{xx} assumirá a forma
\begin{equation}\label{xx1}
V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{(tg\theta +sec\theta)sec\theta}{tg\theta+sec\theta} \,d\theta
\end{equation}
Fazendo
$$tg\theta+sec\theta=u \,\,\,\Rightarrow \,\,\, du=sec\theta(tg\theta+sec\theta)d\theta$$
e substituindo em \ref{xx1} teremos
\begin{equation}\label{xx2}
V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{(tg\theta +sec\theta)sec\theta}{tg\theta+sec\theta} \,d\theta= \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\int_{u_1}^{u_2}\frac{du}{u} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\,ln\,u \Big|_{u_1}^{u_2} .
\end{equation}
Mas $u=tg\theta+sec\theta$, então
$$V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0} \int_{\theta_1}^{\theta_2}=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\,ln\,(tg\theta+sec\theta) \Big|_{\theta_1}^{\theta_2},$$
ou ainda
$$V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\,ln\,\left(\frac{x}{z}+ \frac{\sqrt{x^2+z^2}}{z} \right) \Big|_{x=0}^{x=L}$$
E finalmente, teremos a Equação
\begin{equation}\label{potencial_linha_de_carga}
V=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon _0}\,ln\,\left(\frac{L+\sqrt{L^2+z^2}}{z} \right)
\end{equation}
que determina o potencial elétrico gerado pela distribuição linear de carga no ponto P conforme ilustrado pela Figura.
